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六年级数学教案:认识分数的本质

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六年级数学教案:认识分数的本质
从数学发展史看,分数产生于人类的测量活动,而且人类认识分 数是从认识分数单位开始的。
⑴测量一张三人沙发的长度,如果没有现成的尺子,可以自选一 个度量单位,如用一条领带的长为度量单位进行测量,测得三人沙发 的长恰好等于这条领带长的 2 倍,即
三人沙发的长=领带的长 2=2(领带的长)。 量=度量单位量数。
⑵测量一张单人沙发的长度,发现它还不足一条领带的长。怎么 办呢?办法是缩小度量单位。把这条领带对折两次,即以这条领带长 度的四分之一()为度量单位时,单人沙发的长恰好等于它的 3 倍, 即
单人沙发的长=领带的长的 3=(领带的长)
量=度量单位量数。
在测量单人沙发时,我们用到了比自然数 1 更小的度量单位(把 自然数 1 平均分成 4 份,表示其中的一份的数是)。
这里,分数和表示不同的长度(量),其中,是分数单位,表示 3 个,或的 3 倍。
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所以,用分数单位度量一个量时,所得的结果一般是用分数表示 的。也可以说,分数是由量与分数单位(度量单位)的倍比关系产生 的。分数单位的重要性可见一斑。
想一想:已知用 1 为单位度量三人沙发的长时,量数是 2,沙发 的长是多少?那么用为单位度量这张三人沙发的长,量数是几?这张 三人沙发的长度是几分之几?如果用为单位去度量这张三人沙发的长 呢?
下面的表格,同样可以表征上述数学问题: 三人沙发的长度 度量单位 量数 ? 1 2 ? ?
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? ? 下面双重刻度的线段,也可以表征上述的数学问题:
经过上述作业,能充分体验量、度量单位、量数三者的基本关 系:量=度量单位量数;同时,还会发现:2==。
再想一想:用为单位去度量一张双人沙发的长,如果所得的量数 是 6,那么这张双人沙发的长度可以用什么分数表示?
上面这个数学问题,用线段图表征如下: 二、分数产生的现实背景之二--分物 ⑴用自然数 1 表示 1 个物体,把它平均分成若干份,表示其中一 份的数,叫做分数单位。 ⑵用自然数 1 表示由许多物体组成的一个整体时,把它平均分成 若干份,表示其中一份的数,也是分数单位吗? 把 8 个饼平均分成 4 份,其中每份都有 2 个饼。
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如果把 2(部分量)作为度量单位,去度量 8(整体)时,量数是 4;也就是说,8 是 2 的 4 倍。
如果把 8 作为单位 1,去度量 2 时,量数是;这个分数描述的是 同一个量中整体与部分的倍比关系,它本身不是一个量,当然也就不 具有充当分数单位的资格。
所以,同一个分数,具有两种不同的意义:一可以用来表示一个 量,当它表示量时,它还是计量的单位(分数单位);二是可以用来 表示量数,即表示两个量(整体与部分)的倍比关系。事实上任何分 数都具有这两种意义。
笼统地,把单位 1 平均分成若干份,表示其中一份的数,叫做分 数单位。这个定义的科学性是值得商榷的。
⑶如果把 9 个饼平均分给 4 个人,每人分得几个饼?
这个实际问题通常被抽象为下面的数学问题:
9 平均分成 4 份,每份多少?
解法一:因为 1 平均分成 4 份,其中一份是;所以,9 平均分成 4 份,每份是 9 个,即。算法如下:
94=9(14)
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=9 =。 解法二:94=2......1, 14=, 2+=2, 所以,94=2。 上述两种算法,都涉及到一个基本的运算: 14= 量量数=度量单位。 在教材中,是通过图形的直观操作得到结果的,但缺乏对操作过 程的内涵抽象与概括,使学生不能看到分数与除法之间的本质联系。 因此,学生的思维只能停留在经验的层面,他们的理论思维得不到应 有的培养和发展。 值得指出的是,当我们把实际问题中的 4 个人抽象成 4 份的时 候,其中 4 的意义,从表示量(人数)变换成表示量数(份数)了。
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当我们掌握了比的概念后,上述的实际问题还可以抽象成下面的数学 问题:
9 与 4 的比的比值是多少?其中 9 与 4 的实际意义都没有改变, 它们分别表示两个不同的量。
解:9︰4=︰1=。
回到实际问题的情境,解释比值的实际意义,即表示每个人分得 个饼。
从这个例子,也许可以领略到一点产生比的概念的必要性。
三、分数产生的现实背景之三--比较
两个量的比较有两种图式:一是两个量的差比关系(第一学段学 习的内容);二是两个量的倍比关系(第二学段学习的内容)。
⑴一束鲜花,其中 5 朵白花,10 朵红花。
如果以白花的朵数为基准量进行比较,那么红花的朵数是白花的 2 倍;如果以红花的朵数为基准量进行比较,那么白花的朵数是红花 的。这里,2 和都是量数,都表示两个量的倍比关系。
上述量与量数之间的对应关系,也可以用下面的线段图直观表 示:
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测量中的量、度量单位与量数之间的基本关系,可以衍变为在比 较中的量、基准量、量数之间的数量关系,即
量=基准量量数。 ⑵按下面的两种方法配制橙汁饮料: A.4 杯纯橙汁、3 杯矿泉水; B.5 杯纯橙汁、4 杯矿泉水。 A、B 两种橙汁饮料,哪种更甜一些? 解决这类实际问题一般都有下列两种思维图式: ①求每杯水平均掺入几杯纯橙汁,掺入纯橙汗较多的饮料更甜一 些。根据这种思维图式,以水的杯数为基准量,求纯橙汁的杯数是水 的几倍。因此,从实际问题抽象出的数学问题是:比较分数与的大 小。 解法一:=,=。 因为>,所以>。这个结果说明 A 种橙汁饮料更甜一些。 解法二:>1.33,=1.25。
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因为 1.33>1.25,所以>。
②求每杯纯橙汁平均掺入几杯水,掺入水较少的饮料更甜一些。 根据这种思维图式,以纯橙汁的杯数为基准量,求水的杯数是纯橙汁 的几倍。因此,从实际问题抽象出的数学问题是,比较分数与的大 小。
解答这个数学问题也有类似于①中的两种方法,结果是<,说明 A 种饮料掺入的水较少,因此更甜一些。
综上,从分数产生的三种现实背景,可以清楚地看到分数产生于 量的倍比关系。分数概念的核心是量、度量单位(基准量)与量数的 基本关系,即量=度量单位(基准量)量数。
因此,分数具有两种不同的意义:
1.分数可以表示量。表示量的分数,它或者是分数单位,或者是 分数单位的整数倍。
2.分数可以表示量数。量数是以一个量为基准量去度量另一个量 所得的结果,它是描述两个量倍比关系的一个数(自然数或分数)。
两个量的倍比关系又有下面四种类型:
①一个量中整体与部分的倍比关系;
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②同类的两个量的倍比关系; ③一个量中各组成部分的倍比关系; ④不同类的两个量的倍比关系。 从类型①和②,可以衍生出百分数的概念;从类型③和④可以衍 生出比的概念。 量=基准量量数,这一基本关系有下面两个等价的形式: ①量基准量=量数; ②量量数=基准量。 从形式上看,①和②都是两个数相除,但只有①的情形才可以称 为两个量的比。各种版本教材关于比都是这样定义的:两个数相除, 又叫做这两个数的比。这个定义令人困惑,一些学生也提出质疑:既 然两个数相除又叫做这两个数的比,那么为什么还要学习比呢?问的 教师无言以对。其实,是这个比的定义有问题,它错误地扩大了比的 概念的外延。比的定义似乎应该是:两个量相除,叫做这两个量的 比。(20xx 年 2 月 15 日于福州)
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