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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.2函数的单调性与最值

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2014 年高考一轮复习热点难点精讲精析: 2.2 函数的单调性与最值 一、函数单调性的判定 1、用定义证明函数单调性的一般步骤 ,即: (1) 取值:即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值,且 x1< x2. (2)作差:即 f(x2 ) –f(x1)(或 f(x1)-f(x2)),并通过通分、配方、因式分解等方法,向有利于判断 差的符号的方向变形。 (3)定号:根据给定的区间和 x2- x1 符号,确定差 f (x2) –f(x1)(或 f(x1)-f(x2))的符号。当符号不 确定时,可以进行分类讨论。 (4)判断:根据定义得出结论。 2、利用导数的基本步骤是: 2、求函数的单调性或单调区间的方法 (1)能画出图象的函数,用图象法,其思维流程为: (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数,用转化法,其思维流程为: (3)能求导的用导数法,其思维流程为: (4)能作差变形的用定义法 ,其思维流程为: 注 :函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制。例如函数 y =1/x 在 (??, 0)和(0, ??) 内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即 ???, 0? ?0, ??? 内单调递减,只能分开写,即函数的单 1 调减区间为 (??, 0)和(0, ??) ,不能用“∪” 2.例题解析 〖例 1〗(2011·江苏高考)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数 y ? x ? 2 在(-1,+∞)上的单调性. x?1 【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断; (2)可用定义法或导数法. 解析:(1)函数 f(x)的定义域为( ? 1 ,+∞),令 t=2x+1(t>0), 2 因为 y=log5t 在 t∈(0,+∞)上为增函数,t= 2x+1 在( ? 1 2 ,+∞)上为增函数,所以函数 f(x)=log5(2x+1) 的单调增区间为( ? 1 ,+∞). 2 答案:( ? 1 ,+∞) 2 (2)方法一:定义法:设 x1>x2>-1, 则 y1 ? y2 ? x1 x1 ?2 ?1 ? x2 x2 ?2 ?1 ? ? x1 x2 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1? . ∵x1>x2>-1,x2-x1<0,x1+1>0,x2+1>0, ? x2 ? x1 ? 0, ?x1 ? 1??x2 ? 1? 即 y1-y2<0,y1<y2.? y ? x x ? ? 2 1 在(-1,+∞)上是减函数. 方法二:导数法: y? ? ( x x ? ? 2 1 )? ? ? x ?1? ? ?x ? ?x ?1?2 2? ? ? x ?1 ? 1?2 , ∴在(-1,+∞)上,y′<0,故 y ? x ? 2 [ x?1 在(-1,+∞)上为减函数. 〖例 2〗求函数 的单调区间 思路分析:该函数整体来说是一个二次根式,首先要考虑被开方数大于等于零,在此基础上求被开方 函数的单调性即可. 解析:设 y= u ,u=x2+x-6 . 2 由 x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2, 结合二次函数图象可知,函数 u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 又∵函数 y= u 是递增 的,∴函数 的. 在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增 〖例 3〗设 (1) 试判断函数 , 的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2) 若 的反函数为 ,证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 ; 解析 : 1) ∵ 判断 在 设任 >0 且 2-x≠0 ∴ 的定义域为 上是增函数,下证明之:………………………………………1 分 ………………………………………2 分 ∵ ∴ ………………………………3 分 ∵ ∴x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0 则 ………………………………………4 分 3 用数学归纳法易证 证略. …… 12 分 二、应用函数的单调性 1.应用函数的单调性可求解的问题 (1)由 x1,x2 的大小,可比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (2)知 f(x1)与 f(x2)的大小关系,可得 x1 与 x2 的大小关系; (3)求解析式中参数的值或取值范围; (4)求函数的最值; (5)得到图象的升、降情况,画出函数图象的大致形状. 2.例题解析 〖例 1〗(1)若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是______. (2)已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,试比较 f(-1),f(0),f(2)的大小. 【方法诠释】(1)根据 f(x)的单调性,得到 2-m 与 m2 的大小关系,从而求解. (2)根据函数 f(x)的性质先得到 y=f (x)在[0,2]上的单调性或[-2,2]上的图象,进而借助于单调性 或图象比较出函数值的大小. 4 解析:(1)因为 f(x)为 R 上的增函数,且 f(2-m)<f(m2), 则有:2-m<m2,即 m2+m-2>0. 解得:m<-2 或 m>1. 所以 m 的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)方法一:因为 y=f(x-2)的图象可由 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位而得到,而 y=f(x)为偶函数, 其图象关于直线 x=0 对称, ∴函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=2 对称, 又 y=f(x-2)在[0,2]上单调递减, ∴函数 y=f(x-2)在[2,4]上单调递增, 因此,y=f(x)在[0,2]上单调递增, 又 f(-1)=f(


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