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2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习函数的概念与表示


函数的概念与表示
一、[基础知识] (一) 映射 (1)映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素,在 集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f) 叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。 (2)象与原象:如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中 的元素 b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原象。 注意点:(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。 (二) 函数 (1)函数的定义 ①原始定义:设在某变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的
值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称 y 是 x 的函数,x 叫作自变量。 ②近代定义:设 A、B 都是非空的数的集合,f:x→y 是从 A 到 B 的一个对应法则,那么从 A
到 B 的映射 f:A→B 就叫做函数,记作 y=f(x),其中 x ? A, y ? B ,原象集合 A 叫做函数的
定义域,象集合 C 叫做函数的值域。 C ? B
(2)构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
(三) 函数的表示方法 ①解析法②列表法③图象法
注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。 二、例题选讲 例 1、下列各组函数中,表示相同函数的是(D)
?A? f ?x? ? ln x2 , g?x? ? 2ln x

?B?

f

?x?

?

a

log

x a

?a

?

0,

a

?

1?

, g?x? ? x

?C? f ?x? ? 1? x2

, g?x? ? 1?

x

(x ???1,1? ?D? f

?x? ?

log

a a

x

(a

?

0, a

? 1),

g?x? ? 3 x3

练习:

变式题(一):下列各对函数中,相同的是(D)

?A? f ?x? ? x2 , g?x? ? x

?B? f ?x? ? lg x2 , g?x? ? 2lg x

?C? f ?x? ? lg x ?1, g?x? ? lg?x ?1? ? lg?x ?1?
x ?1

?D? f ?u? ? 1 ? u , g?v? ? 1 ? v

1?u

1? v

? ? 例 2、已知集合 M ? ?1,2,3, m?, N ? 4,7, n4 , n2 ? 3n , m, n ? N ? ,映射f : x ? y ? 3x ? 1

是从 M 到 N 的一个函数,则 m,n 的值分别为(B)

(A)2,5

(B)5,2

(C)3,6

(D)6,3

? ? 练习:考例 2、设” f:A→B”是从 A 到 B 的一个映射,其中 A ? B ? ?x, y? x, y ? R ,

f : ?x, y? ? ?x ? y, xy?,则 A 中元素(1,-2)的象是

,B 中的元素(1,-2)的原象是



(-1,-2).

(2,-1)或(-1,2)

变式二:设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B

中的元素 2n+n,则在映射 f 下,像 20 的原象是(C)

A、2

B、3

C、4

D、5

例 3、下列对应是否为从 A 到 B 的映射?能否构成函数?

?1?A ? R, B ? R, f : x ? y ? 1
x ?1

?2?A

?

??a ?

1 2

a

?

N?

??, ?

B

?

??b b ?

?

1 n

,n

?

N

??, ?

f

:a?b? 1 a

?3?A ? ?平面?内的矩形?, B ? ?平面?内的圆?, f : 作矩形的外接圆

解(1)不是映射 (2)是映射,也是函数 (3)是映射,不是函数
? ? ? ? 练习:变式(三)M ? x 0 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 给出的四个图形,其中能表示集合 M

到 N 的函数关系的有(B)

A、 0 个

B、1 个

C、2 个



4、已知n ?

N?,

f

?n? ?

?

? ?

f

n ? 2(n ? 10)

?

f

?n

?

5??(n

?

, 10)

求f

?5?和f

?0?的值.

D、3 个

解: f ?5? ? f ? f ?10?? ? f ?10 ? 2? ? f ?8? ? f ? f ?13?? ? f ?11? ? 9 ? f ?5? ? 9

f ?0? ? f ? f ?5?? ? f ? f ?10?? ? f ?8? ? f ? f ?13?? ? f ?11? ? 9? f ?0? ? 9
练习:

?

? x ? 2(x ? ?1)

考例 4:已知函数f ?x? ? ??2x(?1 ? x ? 2)

? ??

x2 ?x ? 2?
2

?1?求 f

? ? ?

f

? ? ?

f

?? ?

?

7 4

?????????

?2?若f ?a? ? 3,求 a的值.

(1)1,(2)a= 3 , 6 2

变式(四)已知f

?x

? 1?

?

? sin x(x ? 0)
??lg?? x??x ? 0?,

求f

?? ? ?2

?1?? ? ?

f

?? 9?的值

(1)

例 5、(考例 5)设M ? ?a,b, c?, N ? ??1,0,1?

(1) 求从 M 到 N 的映射的个数;

(27)

(2) 从 M 到 N 的映射满足 f(a)-f(b)=f(c),试确定这样的映射 f 的个数。 (7)

练习:(变式五)设集合 M ? ??1,0,1?, N ? ?2,3,4,5?,映射f : M ? N,使对任意的 x ? M

都有 x+f(x)+xf(x)是奇数,这样的映射 f 共有(C)个。

A、 22

B、15

C、50

D、27

三、小结

1、映射的定义是有方向性的,即从集合 A 到 B 与从集合 B 到 A 的映射是两个不同的映射,映

射是一种特殊对应关系,只有一对一、多对一的对应才是映射。

2、函数的定义有两种形式,都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则,函数是一

种特殊的映射。

3、判断两个函数是否同一,紧扣函数概念三要素是解题关键。

四、作业:能力提高:1~8,预测



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