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精选-六年级数学教案认识分数的本质

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六年级数学教案——认识分数的本质 一、分数产生的现实背景之一--测量 从数学发展史看,分数产生于人类的测量活动,而且人类认 识分数是从认识分数单位开始的。 ⑴测量一张三人沙发的长度,如果没有现成的尺子,可以自 选一个度量单位,如用一条领带的长为度量单位进行测量, 测得三人沙发的长恰好等于这条领带长的 2 倍,即 三人沙发的长=领带的长 2=2(领带的长) 。 量=度量单位量数。 ⑵测量一张单人沙发的长度,发现它还不足一条领带的长。 怎么办呢?办法是缩小度量单位。把这条领带对折两次,即 以这条领带长度的四分之一()为度量单位时,单人沙发的 长恰好等于它的 3 倍,即 单人沙发的长=领带的长的 3=(领带的长) 量=度量单位量数。 在测量单人沙发时,我们用到了比自然数 1 更小的度量单位 (把自然数 1 平均分成 4 份,表示其中的一份的数是) 。 这里,分数和表示不同的长度(量) ,其中,是分数单位, 表示 3 个,或的 3 倍。 所以,用分数单位度量一个量时,所得的结果一般是用分数 表示的。也可以说,分数是由量与分数单位(度量单位)的 倍比关系产生的。分数单位的重要性可见一斑。 第 1 页 想一想:已知用 1 为单位度量三人沙发的长时,量数是 2, 沙发的长是多少?那么用为单位度量这张三人沙发的长,量 数是几?这张三人沙发的长度是几分之几?如果用为单位 去度量这张三人沙发的长呢? 下面的表格,同样可以表征上述数学问题: 三人沙发的长度 度量单位 量数 1 2 下面双重刻度的线段,也可以表征上述的数学问题: 经过上述作业,能充分体验量、度量单位、量数三者的基本 关系:量=度量单位量数;同时,还会发现:2==。 再想一想:用为单位去度量一张双人沙发的长,如果所得的 量数是 6,那么这张双人沙发的长度可以用什么分数表示? 上面这个数学问题,用线段图表征如下: 二、分数产生的现实背景之二--分物 ⑴用自然数 1 表示 1 个物体,把它平均分成若干份,表示其 中一份的数,叫做分数单位。 ⑵用自然数 1 表示由许多物体组成的一个整体时,把它平均 分成若干份,表示其中一份的数,也是分数单位吗? 把 8 个饼平均分成 4 份,其中每份都有 2 个饼。 第 2 页 如果把 2(部分量)作为度量单位,去度量 8(整体)时, 量数是 4;也就是说,8 是 2 的 4 倍。 如果把 8 作为单位 1,去度量 2 时,量数是;这个分数描述 的是同一个量中整体与部分的倍比关系,它本身不是一个 量,当然也就不具有充当分数单位的资格。 所以,同一个分数,具有两种不同的意义:一可以用来表示 一个量,当它表示量时,它还是计量的单位(分数单位) ; 二是可以用来表示量数,即表示两个量(整体与部分)的倍 比关系。事实上任何分数都具有这两种意义。 笼统地,把单位 1 平均分成若干份,表示其中一份的数,叫 做分数单位。这个定义的科学性是值得商榷的。 ⑶如果把 9 个饼平均分给 4 个人,每人分得几个饼? 这个实际问题通常被抽象为下面的数学问题: 9 平均分成 4 份,每份多少? 解法一:因为 1 平均分成 4 份,其中一份是;所以,9 平均 分成 4 份,每份是 9 个,即。算法如下: 94=9(14) =9 解法二:94=2......1, 14=, 2+=2, 所以,94=2。 第 3 页 上述两种算法,都涉及到一个基本的运算: 14= 量量数=度量单位。 在教材中,是通过图形的直观操作得到结果的,但缺乏对操 作过程的内涵抽象与概括,使学生不能看到分数与除法之间 的本质联系。因此,学生的思维只能停留在经验的层面,他 们的理论思维得不到应有的培养和发展。 值得指出的是,当我们把实际问题中的 4 个人抽象成 4 份的 时候, 其中 4 的意义, 从表示量 (人数) 变换成表示量数 (份 数)了。当我们掌握了比的概念后,上述的实际问题还可以 抽象成下面的数学问题: 9 与 4 的比的比值是多少?其中 9 与 4 的实际意义都没有改 变,它们分别表示两个不同的量。 解:9︰4=︰1=。 回到实际问题的情境,解释比值的实际意义,即表示每个人 分得个饼。 从这个例子,也许可以领略到一点产生比的概念的必要性。 三、分数产生的现实背景之三--比较 两个量的比较有两种图式:一是两个量的差比关系(第一学 段学习的内容) ;二是两个量的倍比关系(第二学段学习的 内容) 。 ⑴一束鲜花,其中 5 朵白花,10 朵红花。 第 4 页 如果以白花的朵数为基准量进行比较,那么红花的朵数是白 花的 2 倍;如果以红花的朵数为基准量进行比较,那么白花 的朵数是红花的。这里,2 和都是量数,都表示两个量的倍 比关系。 上述量与量数之间的对应关系,也可以用下面的线段图直观 表示: 测量中的量、度量单位与量数之间的基本关系,可以衍变为 在比较中的量、基准量、量数之间的数量关系,即 量=基准量量数。 ⑵按下面的两种方法配制橙汁饮料: A.4 杯纯橙汁、3 杯矿泉水; B.5 杯纯橙汁、4 杯矿泉水。 A、B 两种橙汁饮料,哪种更甜一些? 解决这类实际问题一般都有下列两种思维图式: ①求每杯水平均掺入几杯纯橙汁,掺入纯橙汗较多的饮料更 甜一些。根据这种思维图式,以水的杯数为基准量,求纯橙 汁的杯数是水的几倍。因此,从实际问题抽象出的数学问题 是:比较分数与的大小。 解法一:=,=。 因为>,所以>。这个结果说明 A 种橙汁饮料更甜一些。 解法二:>1.33,=1.25。 因为 1.33>1.25,所以>。 第 5 页 ②求每杯纯橙汁平均掺入几杯水,掺入水较少的饮料更甜一 些。根据这种思维图式,以纯橙汁的杯数为基准量,求水的 杯数是纯橙汁的几倍。因此,从实际问题抽象出的数学问题 是,比较分数与的大小。 解答这个数学问题也有类似于①中的两种方法,结果是<, 说明 A 种饮料掺入的水较少,因此更甜一些。 综上,从分数产生的三种现实背景,可以清楚地看到分数产 生于量的倍比关系。


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